Question

4．（1）求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直．
（2）若将（1）中的条件改为“如果一个平面与另一个平面的垂面平行”，那么结论是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）过a和α内的任一点作平面δ，设δ∩α=b．由线面平行的性质和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）仍然成立，过β内一点P作直线l，使得l⊥α，即有l?β，l与γ内任一点Q确定平面δ，设δ∩γ=l'，由面面平行的性质和面面垂直的判定定理，即可得到．

解答 （1）已知：a∥α，a⊥β，
求证：α⊥β．
证明：过a和α内的任一点作平面δ，设δ∩α=b．
∵a∥α，∴a∥b．
∵a⊥β，∴b⊥β．
∵b?α，∴α⊥β．
（2）结论仍然成立．
即为如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．
已知：α⊥β，β∥γ，求证：α⊥γ．
证明：过β内一点P作直线l，使得l⊥α，
即有l?β，l与γ内任一点Q确定平面δ，设δ∩γ=l'，
由β∥γ，可得l∥l'，
则l'⊥α，又l'?γ，
即有α⊥γ．

点评 本题考查空间线面的位置关系，主要考查面面垂直的判定和性质定理，考查推理能力，属于中档题．