Question

9．已知抛物线y=ax²和直线1：x+y-1=0，若抛物线上总存在关于l对称的两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 设对称点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．由题意可设直线AB的方程为：y=x+m，与抛物线方程联立，可得△＞0及其根与系数的关系，进而可得中点坐标表示m，代入△＞0即可．

解答 解：设抛物线上两对称点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
由题意可设直线AB的方程为：y=x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，化为ax²-x-m=0．
由题意可得△＞0，即1+4am＞0．（*）
∴x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2a}$．
∵点M在直线x+y=1上，∴y₀=1-$\frac{1}{2a}$．
又y₀=x₀+m，
∴m=1-$\frac{1}{a}$．代入（*）可得：1+4a•（1-$\frac{1}{a}$）＞0，
化为4a＞3，解得a＞$\frac{3}{4}$．
则a的取值范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 熟练掌握抛物线上关于已知直线存在对称点问题转化为判别式及根与系数的关系、中点坐标公式、斜率乘积等于-1等是解题的关键．