Question

14．已知a，b，c是正数，求证：a^2ab^2bc^2c≥a^b+cc^c+bb^c+a．

Answer 1

分析 通过作商、计算可知$\frac{{a}^{2a}{b}^{2b}{c}^{2c}}{{a}^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}}$=$（\frac{a}{b}）^{a-b}$$（\frac{a}{c}）^{a-c}$$（\frac{b}{c}）^{b-c}$，利用a＞b＞c＞0可知$\frac{a}{b}$、$\frac{a}{c}$、$\frac{b}{c}$均大于1，且a-b、a-c、b-c均为正数，进而计算可得结论．

解答 证明：∵a，b，c是正数，
∴a^2ab^2bc^2c、a^b+cb^c+a+c^a+b均为正数，
∴$\frac{{a}^{2a}{b}^{2b}{c}^{2c}}{{a}^{b+c}{b}^{c+a}{c}^{a+b}}$
=a^a-ba^a-cb^b-cb^b-ac^c-ac^c-b
=$（\frac{a}{b}）^{a-b}$$（\frac{a}{c}）^{a-c}$$（\frac{b}{c}）^{b-c}$，
∵a≥b≥c＞0，
∴$\frac{a}{b}$、$\frac{a}{c}$、$\frac{b}{c}$均大于等于1，且a-b、a-c、b-c均为正数，
∴$（\frac{a}{b}）^{a-b}$≥1，$（\frac{a}{c}）^{a-c}$≥1，$（\frac{b}{c}）^{b-c}$≥1，
∴$（\frac{a}{b}）^{a-b}$$（\frac{a}{c}）^{a-c}$$（\frac{b}{c}）^{b-c}$≥1，
即a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^c+ac^a+b．

点评 本题考查不等式的证明，利用作商法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．