Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2x交抛物线于O，A两点，直线AF交抛物线于另一点B，则tan∠AOB=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 联立直线方程和抛物线方程，求得A的坐标，由F的坐标，可得B的坐标，再由二倍角的正切公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，
得A（$\frac{1}{2}$p，p），又F（$\frac{1}{2}$p，0），
∴B（$\frac{1}{2}$p，-p），
∴∠AOB=2∠AOF，tan∠AOF=$\frac{p}{\frac{1}{2}p}$=2，
则 tan∠AOB=$\frac{2tan∠AOF}{1-ta{n}^{2}∠AOF}$=$\frac{2×2}{1-{2}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，考查二倍角的正切公式，考查运算能力，属于中档题．