Question

7．已知m＞n＞0，a，b∈R⁺且（a-1）（b-1）≠0，求证：（aⁿ+bⁿ）^m＞（a^m+b^m）ⁿ．

Answer 1

分析 先运用分析法：要证（aⁿ+bⁿ）^m＞（a^m+b^m）ⁿ．即证mln（aⁿ+bⁿ）＞nln（a^m+b^m），（m＞n＞0）即证$\frac{ln（{a}^{n}+{b}^{n}）}{n}$＞$\frac{ln（{a}^{m}+{b}^{m}）}{m}$，可设f（x）=$\frac{ln（{a}^{x}+{b}^{x}）}{x}$（x＞0，a，b∈R⁺且a，b≠1），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 证明：要证（aⁿ+bⁿ）^m＞（a^m+b^m）ⁿ．
即证mln（aⁿ+bⁿ）＞nln（a^m+b^m），（m＞n＞0）
即证$\frac{ln（{a}^{n}+{b}^{n}）}{n}$＞$\frac{ln（{a}^{m}+{b}^{m}）}{m}$，
可设f（x）=$\frac{ln（{a}^{x}+{b}^{x}）}{x}$（x＞0，a，b∈R⁺且a，b≠1），
则f′（x）=$\frac{\frac{x}{{a}^{x}+{b}^{x}}•（{a}^{x}lna+{b}^{x}lnb）-ln（{a}^{x}+{b}^{x}）}{{x}^{2}}$，
由x•a^xlna+x•b^xlnb-a^xln（a^x+b^x）-b^xln（a^x+b^x）
=a^xln$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$+b^xln$\frac{{b}^{x}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$
由0＜$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$＜1，ln$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$＜0，
由0＜$\frac{{b}^{x}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$＜1，ln$\frac{{b}^{x}}{{a}^{x}+{b}^{x}}$＜0，
即有x•a^xlna+x•b^xlnb-a^xln（a^x+b^x）-b^xln（a^x+b^x）＜0，
即f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，
当m＞n时，$\frac{ln（{a}^{n}+{b}^{n}）}{n}$＞$\frac{ln（{a}^{m}+{b}^{m}）}{m}$，
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数，由导数判断单调性，考查推理能力，属于中档题．