Question

已知f（x）=2asin（2x+

π

6

）-a+b，a，b∈Q．当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，f（x）∈[-3，

3

-1]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用列表描点法作出f（x）在[0，π]上的图象；
（3）简述由函数y=sin（2x）的图象经过怎样的变换可得到函数f（x）的图象．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的性质求出用参数表示的函数的最值，由于函数的值域已知，故此两区间相等，故左端点与左端点相等，右端点与右端点相等，由此得到参数的方程，解出参数值即可．
（2）通过列表，描点连线，画出函数在[0，π]上的图象．
（3）函数y=sin（2x）经过左右平移，伸长到原来的2倍，通过上下平移即可得到函数的解析式．

解答：解：（1）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
∴2asin（2x+

π

6

）∈[-2a，

3

a]，
∴f（x）∈[-3a+b，

3

a-a+b]，又f（x）∈[-3，

3

-1]．
∴

-3a+b=-3 3 a-a+b= 3 -1

，解得

a=1 b=0

．
f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（2）函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1在[0，π]列表，画出图象，如图．

（3）函数y=sin（2x）经过向左平移

π

12

，伸长到原来的2倍，纵坐标不变，向下平移1单位，即可得到函数的解析式2sin（2x+

π

6

）-1．

点评：本题考点是三角函数的最值，考查利用三角函数的最值建立方程求参数，求三角函数的最值一般需要先研究三角函数的单调性，由单调性求最值，本题求最值采用了求复合函数最值常用的方法；注意函数图象的平移，五点法作图的基本方法．