Question

过点M（2，4）作两条互相垂直的直线，分别交x、y轴的正半轴于点A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程.

Answer 1

思路分析：命题有两种设方程的方案：①设PA、PB的点斜式方程，然后求出k；②设AB的截距式方程.经过估算，选第②种方案更好.

解：设AB的方程为=1(a＞0,b＞0),

∴A(a,0),B(0,b).

∵⊥，

∴(a-2)(-2)+(-4)(b-4)=0a=10-2b.

∵a＞0,∴0＜b＜5.

∵AB方程的一般式为bx+ay-ab=0,

∴点M到AB的距离d=.

∴△MAB的面积

S₁=d|AB|=|2b+4a-ab|

=|2b+4(10-2b)-b(10-2b)|

=|b²-8b+20|=b²-8b+20(∵b²-8b+20＞0).

而△OAB的面积S₂=ab=5b-b²,∵直线AB平分四边形OAMB的面积，∴S₁=S₂.∴2b²-13b+20=0b=或b=4.∴a=5或a=2.故所求直线AB的方程为x+2y-5=0或2x+y-4=0.