Question

 

如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．

   （Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；

   （Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.

【参考答案】

解法一：

（I）连接A₁B，记A₁B与AB₁的交点为F.

因为面AA₁BB₁为正方形，故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，又D为BB₁的中点，故DE∥BF，DE⊥AB₁.  ………………3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA₁B₁B.连接DG，则DG∥AB₁，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.

所以DE为异面直线AB₁与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB­₁，故∠CDG为异面直线AB­₁与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，得

作B₂H⊥A₁C₁，H为垂足，因为底面A₁B₁C₁⊥面AA₁C₁C，故B₁H⊥面AA₂C₂C，

又作HK⊥AC₁，K为垂足，连结B₂K，由三垂线定理，得

因此为二面角A₁—AC₁—B₁的平面角。   

所以二面角 

解法二：

   （I）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，

设AB=2，则A（2，0，0），B₁（0，2，0），D（0，1，0），

又设C（1，0，c），则

于是

故，

所以DE为异面直线AB₁与CD的公垂线。

   （II）因为等于异面直线与CD的夹角。

故,

即

解得

又

所以       

设平面AA₁C₁的法向量为

则

即

令

设平面AB₂C₂的法向量为

则

即

令

所以

由于等于二面角A₁—AC₁—B₁的平面角，

所以二面角A₁—AC₁—B₁的大小为

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.