Question

（09年东城区期末理）（14分）

如图,在直三棱柱中,.

(Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)在上是否存在点,使得∥平面,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：解法一: (Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.

由可得.

所以.     ………………..4分

(Ⅱ)过作于,连结.

由底面可得.

故为二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,,

故所求二面角的大小为 .  ……………………………………9分

(Ⅲ)存在点使∥平面,且为中点,下面给出证明.

设与交于点则为中点.

在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线,

∥,又平面,平面,

       ∥平面.

故存在点为中点,使∥平面.       ………………14分

解法二 直三棱柱,底面三边长,

两两垂直.

如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则.

(Ⅰ),

,故.                …………….4分

(Ⅱ)平面的一个法向量为,

设平面的一个法向量为,

,,

由得

令,则.

则.

故＜＞=.

所求二面角的大小为.   ……………………………………….9分

(Ⅲ)同解法一 ……………………………………………………………..………..14分