Question

（09年东城区期末理）(14分)

已知点(N)顺次为直线上的点,点(N)顺次为轴上的点,其中,对任意的N,点、、构成以为顶点的等腰三角形.

(Ⅰ)证明:数列是等差数列;

(Ⅱ)求证:对任意的N,是常数,并求数列的通项公式;

  (Ⅲ)在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)依题意有,于是.

所以数列是等差数列.                      ………………….4分

(Ⅱ)由题意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②    ………6分

由②①得,

可知都是等差数列.那么得

,

.    (       

故                            …………10分

(Ⅲ)当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以  

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只需.                 

当为奇数时,有,即 .             ①

当时,;当时,;当, ①式无解.

当为偶数时,有,同理可求得.      

综上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此时的值为或

或.                                     ……………………..14分