Question

11．C₁，C₂是以原点为圆心的两个同心圆，C₁的半径r₁=2，C₂的半径r₂=6，C₁上有一点P，C₂上有一点Q，各以每秒1弧度的角速度绕原点旋转，P点按逆时针方向运动，Q点安顺时针方向运动，当t=0时，P点在x轴上，Q点在y轴上，求PQ中点M的运动轨迹的参数方程．

Answer 1

分析 设∠POx=θ，则∠QOx=$\frac{π}{2}-θ$，从而P（2cosθ，2sinθ），Q（6sinθ，6cosθ），M（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），由辅助角公式，结合θ=ωt=t，能求出PQ中点M的运动轨迹的参数方程．

解答 解：两个点在相同速度相同时间内走过的角度为ωt，
且OP与x轴正半轴的夹角与OQ与x轴正半轴的角之和为$\frac{π}{2}$，
设∠POx=θ，则∠QOx=$\frac{π}{2}-θ$，
∴P（2cosθ，2sinθ），Q（6sinθ，6cosθ），
则PQ的中点为M，由中点坐标公式得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{M}=cosθ+3sinθ}\\{{y}_{M}=sinθ+3cosθ}\end{array}\right.$，
∴M（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），
由辅助角公式，得：
${x}_{M}=cosθ+3sinθ=\sqrt{10}cos（θ-α）$，$（cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}）$．
${y}_{M}=sinθ+3cosθ=\sqrt{10}sin（θ+α）$，
又θ=ωt=t，
∴PQ中点M的运动轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{10}cos（t-α）}\\{y=\sqrt{10}sin（t-α）}\end{array}\right.$．（t为参数），$（cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}）$．

点评 本题考查线段中点的运动轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、和差化积公式的合理运用．