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(08年丰台区统一练习一理)(14分)

已知函数,数列是公差为d的等差数列,是公比为q

)的等比数列.若

     (Ⅰ)求数列的通项公式;     

(Ⅱ)设数列对任意自然数n均有,求 的值;

(Ⅲ)试比较的大小.

解析:(Ⅰ) ∵ , ∴ .

, 解得 d =2.

.  ∴ . ………………………………… 2分

, ∴ .

,  ∴ .

, ∴ .………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由题设知 , ∴.

     当时, ,

  ,

     两式相减,得.

     ∴  (适合).…………………………… 7分

     设T=,

           两式相减 ,得

             

              .

              ∴ .………………………………………………… 9分

(Ⅲ) ,   .

         现只须比较的大小.

         当n=1时,

         当n=2时,

         当n=3时,

         当n=4时, .

         猜想时,.

         用数学归纳法证明

         (1)当n=2时,左边,右边成立.

         (2)假设当n=k时, 不等式成立,即.

            当n=k+1时,

.

             即当n=k+1时,不等式也成立.

             由(1)(2),可知时,都成立.

             所以 (当且仅当n=1时,等号成立)

             所以.即. …………………………… 14分

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