Question

（2013•福建）已知等比数列{a_n}的公比为q，记b_n=a_m（n-1）+1+a_m（n-1）+2+…+a_m（n-1）+m，c_n=a_m（n-1）+1•a_m（n-1）+2•…•a_m（n-1）+m，（m，n∈N^*），则以下结论一定正确的是（　　）

A．数列{b_n}为等差数列，公差为q^m

B．数列{b_n}为等比数列，公比为q^2m

C．数列{c_n}为等比数列，公比为qm2

D．数列{c_n}为等比数列，公比为qmm

Answer 1

分析：①bn=am(n-1)(q+q2+…+qm)，当q=1时，b_n=ma_m（n-1），b_n+1=ma_m（n-1）+m=ma_m（n-1）=b_n，此时是常数列，可判断A，B两个选项
②由于等比数列{a_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得am(n+1-1)=am(n-1)+m=am(n-1)•qm，cn=

a

m m(n-1)

q1+2+…+m=

a

m m(n-1)

•q

m(m+1)

2

，得出

cn+1

cn

即可判断出C，D两个选项．

解答：解：①bn=am(n-1)(q+q2+…+qm)，当q=1时，b_n=ma_m（n-1），b_n+1=ma_m（n-1）+m=ma_m（n-1）=b_n，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；
当q≠1时，bn=am(n-1)×

q(qm-1)

q-1

，bn+1=am(n-1)+m•

q(qm-1)

q-1

=am(n-1)qm•

q(qm-1)

q-1

，此时

bn+1

bn

=qm，选项B不正确，
又b_n+1-b_n=am(n-1)×

q(qm-1)

q-1

(qm-1)，不是常数，故选项A不正确，
②∵等比数列{a_n}的公比为q，∴am(n+1-1)=am(n-1)+m=am(n-1)•qm，
∴cn=

a

m m(n-1)

q1+2+…+m=

a

m m(n-1)

•q

m(m+1)

2

，
∴

cn+1

cn

=

a m m(n+1-1) q m(m+1) 2

a m m(n-1) •q m(m+1) 2

=

(am(n-1)qm)m

a m m(n-1)

=qm2，故C正确D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键．