Question

（08年聊城市四模文）（12分）如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，2BN=AE，M是ND的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

   （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；

   （2）求证：EM∥平面ABC；

   （3）求证：平面NDE⊥平面CEM.

 

Answer 1

解析：（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分

   （2）证明：俯视图和侧视图，得∠CAB=90°，

    DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA⊥ABC，

    EA∥DC∥NB.取BC的中点F，连接FM、EM，

    则FM∥DC∥EA，且FM=（BN+DC）=2. …4分

∴FM平行且等于EA，∴四边形EAFM是平行四边形，

∴AF∥EM，又AF平面ABC，

∴EM平面ABC.…………………………7分

（3）过N作NR⊥AE于R，则NR=2，RE=1，∴EN=.

    过E作ET⊥CD于T，则ET=2，TD=1，∴ED=，∴ED=EN.

    又M为DN的中点，∴EM⊥DN. 连结CM、CN、CE.

    ∵BC=2，BN=1，BN⊥BC，∴CN=3，又CD=3，M为DN中点，

    ∴CM⊥DN，CM∩EM=M，∴DN⊥平面CEM，DN平面NDE.

    ∴平面NDE⊥平面CEM.………………………………………………12分