Question

将函数f(x)=sin

3

4

x•sin

3

4

(x+2π)•sin

3

2

(x+3π)在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，求证：bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=sin

3

4

x•sin(

3

4

x+

3

2

π)•sin(

3

2

x+

9

2

π)=-

1

4

sin3x，知f（x）的极值点为x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以

π

6

为首项，

π

3

为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=

2n-1

6

π知对任意正整数n，a_n都不是π的整数倍，知sina_n≠0，从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0．于是

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=

sin(an+π)

sinan

=-1，由此能够证明bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin

3

4

x•sin(

3

4

x+

3

2

π)•sin(

3

2

x+

9

2

π)
=sin

3

4

x•(-cos

3

4

x)•cos

3

2

x=-

1

2

sin

3

2

x•cos

3

2

x=-

1

4

sin3x
∴f（x）的极值点为x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以

π

6

为首项，

π

3

为公差的等差数列，
∴an=

π

6

+(n-1)•

π

3

=

2n-1

6

π，（n=1，2，3，…）
（Ⅱ）由an=

2n-1

6

π知对任意正整数n，
a_n都不是π的整数倍，
所以sina_n≠0，
从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0
于是

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=

sin(an+π)

sinan

=-1
又b1=sin

π

6

•sin

π

2

•sin

5π

6

=

1

4

，
{b_n}是以

1

4

为首项，-1为公比的等比数列．
∴bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）

点评：第（Ⅰ）题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质和应用，合理运用三角函数的极值点进行解题．
第（Ⅱ）求证：bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）．解题时要认真审题，利用三角函数的性质证明{b_n}是以

1

4

为首项，-1为公比的等比数列．