Question

设数列{a_n}的各项都是正数，S_n是其前n项和，且对任意n∈N^*都有a_n²=2S_n-a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）2an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，可求得a₁，由a_n²=2S_n-a_n⇒an+12=2S_n+1-a_n+1，两式相减，可得a_n+1-a_n=1，从而可证数列{a_n}是等差数列，于是可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，b_n=（2n+1）•2ⁿ，T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）∵a_n²=2S_n-a_n，
∴当n=1时，a12=2a₁-a₁，即a12=a₁，
∵a₁＞0，a₁=1…1分
又an+12=2S_n+1-a_n+1，
∴an+12-an2=2（S_n+1-S_n）-a_n+1+a_n，
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，{a_n}的各项都是正数，
∴a_n+1-a_n=1…4分
∴数列{a_n}是1为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n…6分
（2）由（1）知，b_n=（2n+1）2an=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ①
∴2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹②…8分
①-②得：-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6-（2n+1）•2ⁿ⁺¹+

23(1-2n-1)

1-2

=-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2…12分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定及其通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，属于中档题．