Question

设数列{a_n}的各项均为正实数，b_n=log₂a_n，若数列{b_n}满足b₂=0，b_n+1=b_n+log₂p，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若p=2，设数列{c_n}对任意的n∈N^*，都有c₁b_n+c₂b_n-1+c₃b_n-2+…+c_nb₁=-2n成立，问数列{c_n}是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由b_n+1=b_n+log₂p，得b_n+1-b_n=log₂p，从而可判断{b_n}是以log₂p为公差的等差数列，可求得b_n，再根据b_n=log₂a_n可求得a_n；
（2）根据an=pn-2及幂的运算法则可化简不等式a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆，得p

n(3n-5)

2

＞p¹⁴（*），然后按照0＜p＜1及p＞1两种情况讨论可解得不等式（*），从而可得结果；
（3）p=2时由（1）得b_n=n-2，从而得c₁（n-2）+c₂（n-3）+c₃（n-4）+…+c_n（-1）=-2n①，则c₁（n-1）+c₂（n-2）+c₃（n-3）+…+c_n+1（-1）=-2（n+1）②，由②-①，得c₁+c₂+c₃+…+c_n-c_n+1=-2③，
进而可得c₁+c₂+…+c_n+c_n+1-c_n+2=-2④，然后用④-③得2c_n+1=c_n+2，由此可判断{c_n}一定是等比数列，进而可求得答案；

解答：解：（1）∵b_n+1=b_n+log₂p，∴b_n+1-b_n=log₂p，
∴{b_n}是以log₂p为公差的等差数列，
又b₂=0，∴b_n=b₂+（n-2）log₂p=log2pn-2，
故由b_n=log₂a_n，得an=2bn=2log2pn-2=p^n-2；
（2）∵an=pn-2，∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=p^-1•p²•p⁵…p^3n-4
=p^{-1+2+5+…+（3n-4）}=p

n(3n-5)

2

，
又a16=p14，∴p

n(3n-5)

2

＞p¹⁴，
（i）当0＜p＜1时，

n(3n-5)

2

＜14，解得-

7

3

＜n＜4，不符合题意；
（ii）当p＞1时，

n(3n-5)

2

＞14，解得n＞4或n＜-

7

3

，
综上所述，当p＞1时，存在正整数M使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₁₆恒成立，且M的最小值为4；
（3）∵p=2，由（1）得b_n=n-2，
∴c₁（n-2）+c₂（n-3）+c₃（n-4）+…+c_n（-1）=-2n①，
则c₁（n-1）+c₂（n-2）+c₃（n-3）+…+c_n+1（-1）=-2（n+1）②，
由②-①，得c₁+c₂+c₃+…+c_n-c_n+1=-2③，
∴c₁+c₂+…+c_n+c_n+1-c_n+2=-2④，
再由④-③，得2c_n+1=c_n+2，即

cn+2

cn+1

=2(n∈N*)，
∴数列{c_n}一定是等比数列，且公比为2，c₁=2，∴cn=2n．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列的函数特性及等比关系的确定，分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强，难度较大．