Question

7．已知正数a、b、c满足a+b+c=1，则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），再由三元基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：由正数a、b、c满足a+b+c=1，
可得2=（a+b）+（b+c）+（c+a），
即有$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
≥$\frac{1}{2}$•3$\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$•3$\root{3}{\frac{1}{a+b}•\frac{1}{b+c}•\frac{1}{c+a}}$=$\frac{9}{2}$，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时，取得最小值$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查乘1法和化简运算能力，属于中档题．