Question

17．在数列{a_n}中，a₁=cosθ，a_n+1=a_nsinθ，其中0＜θ＜2π，θ≠$\frac{π}{2}$且θ≠$\frac{3π}{2}$，若$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，则θ等于（　　）

• A． $\frac{7π}{10}$
• B． $\frac{5π}{12}$
• C． $\frac{7π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得cosθ≠0，然后分θ=π和θ≠π讨论，当θ≠π时构成以cosθ为首项，以sinθ为公比的等比数列，由数列的极限等于$-\frac{\sqrt{3}}{3}$列式，再由辅助角公式化积后求得θ．

解答 解：∵0＜θ＜2π，θ≠$\frac{π}{2}$且θ≠$\frac{3π}{2}$，∴cosθ≠0，
若θ=π，则a₁=cosπ=-1，sinθ=0，a₂=a₃=…=a_n=0，不满足$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$；
若θ≠π，则sinθ≠0且sinθ≠±1，
∴数列{a_n}是以cosθ为首项，以sinθ为公比的等比数列，
则$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{cosθ}{1-sinθ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$sinθ-\sqrt{3}cosθ=1$．
∴2（$\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$）=1，即sin（$θ-\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜θ＜2π，∴$-\frac{π}{3}＜θ-\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$．
则$θ-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$或$θ-\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}$，
即$θ=\frac{π}{2}$（舍）或$θ=\frac{7π}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列极限的求法，是中档题．