Question

已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C₁的极坐标方程为：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C₁与?交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式和极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；
（II）把直线的参数方程直线?的参数方程

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）代入到曲线C₁的直角坐标方程即可得到关于t的一元二次方程，利用参数t的几何意义即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0得5ρ²-3ρ²（cos²θ-sin²θ）-8=0
即5ρ²-3ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-8=0，从而5（x²+y²）-3x²+3y²-8=0
整理得

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）把直线的参数方程直线?的参数方程

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）
代入到曲线C₁的直角坐标方程，得7t2-4

3

t-12=0t1t2=-

12

7

．
由t的几何意义知|PM|•|PN|=|t₁•t₂|=

12

7

．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、参数t的几何意义、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、倍角公式等是解题的关键．