Question

（1）若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=

0 -1 1 0

对应变换的作用下得到的点为B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=

0 1 2 1 0

所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=

π

4

(ρ∈R)，它与曲线

x=2+ 5 cosθ y=1+ 5 sinθ

(θ为参数）相交于两点A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C₁的极坐标方程为：ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C₂的参数方程为：

x=1+cosθ y=3+sinθ

（θ为参数），试求曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）求出矩阵的行列式，从而可得矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=

0 1 2 1 0

所对应变换的作用下的点为（x，y），从而可得坐标之间的关系，代入x²+y²=1，即可得结论；
（2）（Ⅰ）求出直线和圆的直角坐标方程、圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理，可得结论；
（Ⅱ）求出直线C₁的直角坐标方程；曲线C₂的普通方程，从而可求曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程；
（3）（Ⅰ）条件可转化为m≤2（|x-7|+|x+3|），由绝对值不等式的性质可得实数m的取值范围；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2][(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥x+y+z，由此可得结论．

解答：解：（1）（Ⅰ）∵矩阵M=

0 -1 1 0

，∴矩阵的行列式为

.

0 -1 1 0

.

=1≠0
∴M-1=

0 1 -1 0

；
（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=

0 1 2 1 0

所对应变换的作用下的点为（x，y），则

0 1 2 1 0

x′ y′

=

x y

，∴

x′=y y′=2x

代入x²+y²=1，可得4x²+y²=1；
（2）（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y=x和（x-1）²+（y-2）²=5，则圆心为C（1，2），半径R=

5

从而C到直线y=x的距离d=

|1-2|

2

=

2

2

由垂径定理得|AB|=2

R2-d2

=3

2

（Ⅱ）直线C₁的极坐标方程为：ρcos(θ-

π

4

)=

2

，直角坐标方程为x+y=2；曲线C₂的参数方程为：

x=1+cosθ y=3+sinθ

（θ为参数），普通方程为：（x-1）²+（y-3）²=1，圆心坐标为（1，3），半径为1
圆心坐标为（1，3）关于x+y=2对称点的坐标为（1，-1），
∴曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程为（x+1）²+（y-1）²=1；
（3）（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）
由绝对值不等式的性质可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20
∴实数m的取值范围为（-∞，20]；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2][(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥x+y+z
∵2x²+3y²+6z²=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）²，
∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，∴a=1．

点评：本题考查选修知识，考查矩阵与变换，考查坐标系与参数方程，考查不等式选讲，综合性强．