【题目】在数列{an}中,a1= ,且 =nan(n∈N+).
(1)写出此数列的前4项;
(2)归纳猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
【答案】
(1)解:a1= ,a2= ,a3= ,a4=
(2)解:猜想:an= .
证明:①当n=1时,猜想显然成立.
②假设n=k时猜想成立,即ak= .
∵ =nan,∴ =(2n﹣1)an.
∴ ,
∴a1+a2+…+ak=(2k2+3k)ak+1,
又a1+a2+…+ak=(2k2﹣k)ak= ,
∴ak+1= = ,
∴当n=k+1时,猜想成立.
由①②可知,对一切n∈N+,都有an=
【解析】(1)根据递推式,依次令n=2,3,4计算a2 , a3 , a4;(2)根据前4相猜想通项公式,验证n=1时猜想成立,假设n=k时猜想成立,根据条件推导ak+1得出结论.
【考点精析】关于本题考查的归纳推理和数学归纳法的定义,需要了解根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理;数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案.
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【题目】水是地球上宝贵的资源,由于价格比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费.某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨),一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照,,,…,分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,试估计全市有多少居民?并说明理由;
(2)若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表,并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖,设为用水量吨数在中的获奖的家庭数,为用水量吨数在中的获奖家庭数,记随机变量,求的分布列和数学期望.
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【题目】某工艺厂有铜丝5万米,铁丝9万米,准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售,已知一只花篮需要用铜丝200米,铁丝300米;编制一只花盆需要100米,铁丝300米,设该厂用所有原来编制个花篮, 个花盆.
(Ⅰ)列出满足的关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)若出售一个花篮可获利300元,出售一个花盘可获利200元,那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,可使得所得利润最大,最大利润是多少?
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【题目】制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
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【题目】已知椭圆G: + =1(b>0)的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F,且△MFN的面积为4 .
(1)求椭圆G的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点.以AB为底作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2),求△PAB的面积.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣alnx,(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)设g(x)=﹣ ,若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,求a的取值范围.
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【题目】设函数f(x)= ,其中a∈R.
(1)若a=1,f(x)的定义域为区间[0,3],求f(x)的最大值和最小值;
(2)若f(x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围,使f(x)在定义域内是单调减函数.
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【题目】已知函数f(x)=1+lnx﹣ ,其中k为常数.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
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