【题目】已知椭圆G: +
=1(b>0)的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F,且△MFN的面积为4
.
(1)求椭圆G的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点.以AB为底作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2),求△PAB的面积.
【答案】
(1)
解:∵椭圆G: +
=1(b>0),c2=3b2﹣b2=2b2,即c=
b,
由△MFN的面积为4 ,则
×2b×c=4
,即bc=4
,
则b=2,a2=3b2=12,
∴椭圆G的方程为:
(2)
解:设直线l的方程为y=x+m,由 ,整理得4x2+6mx+3m2﹣12=0.①
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),
则x0= =﹣
,y0=x0+m=
,
因为AB是等腰△PAB的底边,则PE⊥AB.
∴PE的斜率k= =﹣1,解得m=﹣2,
此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=﹣3,x2=0,
∴y1=﹣1,y2=2.
∴|AB|= =33
.
此时,点P(﹣3,2)到直线AB:x﹣y+2=0的距离d= =
,
∴△PAB的面积S= |AB|d=
,
△PAB的面积
【解析】(1)由题意方程,求得c= b,根据三角形的面积公式,求得bc=4
,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(2)设直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式,求得m的值,代入求得A和B的坐标,利用两点之间坐标公式及三角形的面积公式,即可求得△PAB的面积.
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【题目】某上市股票在30天内每股交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30填内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示:
第t天 | 4 | 10 | 16 | 22 |
Q(万股) | 36 | 30 | 24 | 18 |
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?
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【题目】已知f(x)=﹣ sin(2x+
)+2,求:
(1)f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)f(x)的单调递增区间;
(3)若方程f(x)﹣m+1=0在x∈[0, ]上有解,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB,位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3 km,且∠AOM=β,现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,且经过大学M,其中tanα=2,cosβ=
,AO=15km.
(1)求大学M在站A的距离AM;
(2)求铁路AB段的长AB.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S= (b2+c2﹣a2),则∠B=( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
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【题目】2017年“十一”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速()分成六段:
,
,
,
,
,
,后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;
(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在
的车辆恰有一辆的概率.
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【题目】已知函数,
,
,
(1)求证:函数在点
处的切线恒过定点,并求出定点的坐标;
(2)若在区间
上恒成立,求
的取值范围;
(3)当时,求证:在区间
上,满足
恒成立的函数
有无穷多个.(记
)
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