Question

【题目】已知椭圆G： + =1（b＞0）的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F，且△MFN的面积为4 ．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点．以AB为底作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵椭圆G： + =1（b＞0），c2=3b2﹣b2=2b2，即c= b，

由△MFN的面积为4 ，则 ×2b×c=4 ，即bc=4 ，

则b=2，a2=3b2=12，

∴椭圆G的方程为：

（2）

解：设直线l的方程为y=x+m，由 ，整理得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①

设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），

则x0= =﹣ ，y0=x0+m= ，

因为AB是等腰△PAB的底边，则PE⊥AB．

∴PE的斜率k= =﹣1，解得m=﹣2，

此时方程①为4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，

∴y1=﹣1，y2=2．

∴|AB|= =33 ．

此时，点P（﹣3，2）到直线AB：x﹣y+2=0的距离d= = ，

∴△PAB的面积S= |AB|d= ，

△PAB的面积

【解析】（1）由题意方程，求得c= b，根据三角形的面积公式，求得bc=4 ，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得m的值，代入求得A和B的坐标，利用两点之间坐标公式及三角形的面积公式，即可求得△PAB的面积．