Question

【题目】如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3 km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ= ，AO=15km．

（1）求大学M在站A的距离AM；
（2）求铁路AB段的长AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ= ，OM=3 ，

由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OAOMcos∠AOM=（3 ）2+152﹣2× ×15× =72．

所以可得：AM=6 ，大学M在站A的距离AM为6 km

（2）解：∵cos ，且β为锐角，∴sinβ= ，

在△AOM中，由正弦定理可得： = ，即 = ，∴sin∠MAO= ，

∴∠MAO= ，∴∠ABO=α﹣ ，

∵tanα=2，∴sin ，cosα= ，

∴sin∠ABO=sin（ ）= ，

又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）= ．

在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得： = ，即 ，∴解得AB=30 ，即铁路AB段的长AB为30 km

【解析】（1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由cos ，且β为锐角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，结合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．