【题目】如图,是边长为4的正方形,动点
在以
为直径的圆弧
上,则
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图坐标系
则圆弧APB方程为x2+y2=4,(y≥0),C(2,4),D(﹣2,4)
因此设P(2cosα,2sinα),α∈[0,π]
∴=(2﹣2cosα,4﹣2sinα),
=(﹣2﹣2cosα,4﹣2sinα),
由此可得=(2﹣2cosα)(﹣2﹣2cosα)+(4﹣2sinα)(4﹣2sinα)
=4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα
化简得=16﹣16sinα
∵α∈[0,π],sinα∈[0,1]
∴当α=0或π时,取最大值为16;当α=
时,
取最小值为0.
由此可得的取值范围是[0,16]
故答案为:[0,16]
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【题目】如图,某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB,位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3 km,且∠AOM=β,现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,且经过大学M,其中tanα=2,cosβ=
,AO=15km.
(1)求大学M在站A的距离AM;
(2)求铁路AB段的长AB.
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【题目】已知函数,
,
,
(1)求证:函数在点
处的切线恒过定点,并求出定点的坐标;
(2)若在区间
上恒成立,求
的取值范围;
(3)当时,求证:在区间
上,满足
恒成立的函数
有无穷多个.(记
)
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【题目】设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m,n,都有f(m)f(n)=f(m+n),且当x<0时,0<f(x)<1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,f(x)>1;③f(x)是R上的增函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)≤1.
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【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)= (a∈R,e为自然对数的底数)
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在 上无零点,求a的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
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