Question

【题目】已知数列和满足若为等比数列，且

（1）求和；

（2）设，记数列的前项和为

①求；

②求正整数 k，使得对任意均有.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n(n∈N*)．bn＝n(n＋1)(n∈N*)．（2）(i) Sn＝ (n∈N*)．(ii)k＝4.

【解析】解：(1)由题意a1a2a3…an＝，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8. 设数列{an}的公比为q,又由a1＝2，得 ，q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)．

所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．

故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)．

(2)(i)由(1)知cn＝ (n∈N*)．所以Sn＝ (n∈N*)．

(ii)因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，cn＝

而得所以，当n≥5时，cn<0.

综上，若对任意n∈N*恒有Sk≥Sn，则k＝4.