【题目】已知函数,
,
,
(1)求证:函数在点
处的切线恒过定点,并求出定点的坐标;
(2)若在区间
上恒成立,求
的取值范围;
(3)当时,求证:在区间
上,满足
恒成立的函数
有无穷多个.(记
)
【答案】(1) 切线恒过定点.(2)
的范围是
(3) 在区间
上,满足
恒成立函数
有无穷多个
【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义求得切线方程为,故过定点
;(2)根据
的取值的不同情况分类讨论处理,最后得
的范围是
;(3)见解析。
试题解析:
(1)因为,所以
在点
处的切线的斜率为
,
所以在点
处的切线方程为
,
整理得,所以切线恒过定点
.
(2)令
,对
恒成立,
因为
令,得极值点
,
,
①当时,有
,即
时,在
上有
,
此时在区间
上是增函数,并且在该区间上有
,不合题意;
②当时,有
,同理可知,
在区间
上,有
,也不合题意;
③当时,有
,此时在区间
上恒有
,
从而在区间
上是减函数;
要使在此区间上恒成立,只须满足
,
所以.
综上可知的范围是
.
(利用参数分离得正确答案扣2分)
(3)当时,
,
记,
.
因为,
令,得
所以在
为减函数,在
上为增函数,
所以当时,
设,则
,
所以在区间上,满足
恒成立函数
有无穷多个
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆G: +
=1(b>0)的上、下顶点和右焦点分别为M、N和F,且△MFN的面积为4
.
(1)求椭圆G的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点.以AB为底作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2),求△PAB的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】荆州市政府为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当的范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为元/千克,政府补贴为
元/千克.根据市场调查,当
时,淡水鱼的市场日供应量
千克与市场日需求量
千克近似满足关系;
.当市场日供应量与市场日需求量相等时的市场价格称为市场平衡价格.
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求其定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于10元/千克,政府补贴至少为每千克多少元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=1+lnx﹣ ,其中k为常数.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣2tx在区间[﹣1,5]上是单调函数,求实数t的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x+m有区间(﹣1,2)上有唯一实数根,求实数m的取值范围(注:相等的实数根算一个).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c= asinC﹣ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为 ,求b,c.
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