Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m的取值范围（注：相等的实数根算一个）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

代入f（x+1）﹣f（x）=2x得2ax+a+b=2x对于x∈R恒成立，

故

又由f（0）=1得c=1，

解得a=1，b=﹣1，c=1，

所以f（x）=x2﹣x+1

（2）解：因为g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x= 对称，

又函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，故 ≤﹣1或 ，

解得t≤ 或

故实数t的取值范围是（﹣∞， ]∪[ ，+∞）

（3）解：由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，

令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），即要求函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，…（11分）

①若h（﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不合题意；

②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；

③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；

④若m≠4且m≠1且m≠0时，由 得1＜m＜4．

综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）

【解析】（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；（2）由g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x= 对称，结合函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，可得 ≤﹣1或 ，解得实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，则函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．