【题目】如图所示,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O,则AO与A'C'所成角的度数为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】A
【解析】解:∵A′C′∥AC,∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB,AB⊥平面BB′CC′,
∴OC⊥AB.又AB∩BO=B,
∴OC⊥平面ABO.
又OA平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC= ,AC=
,
∴sin∠OAC= ,
∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
故选A.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用异面直线及其所成的角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣alnx,(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)设g(x)=﹣ ,若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=1+lnx﹣ ,其中k为常数.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
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【题目】给出下列五个命题:
①函数y= 是偶函数,但不是奇函数;
②若lna<1成立,则a的取值范围是(﹣∞,e);
③函数f(x)=ax+1﹣2(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,﹣1);
④方程x2+(a﹣3)x+a=0的有一个正实根,一个负实根,则a<0;
⑤函数f(x)=loga(6﹣ax)(a>0,a≠1)在[0,2]上为减函数,则1<a<3.
其中正确的个数( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣2tx在区间[﹣1,5]上是单调函数,求实数t的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x+m有区间(﹣1,2)上有唯一实数根,求实数m的取值范围(注:相等的实数根算一个).
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【题目】若函数f(x)=ax+ka﹣x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=log2(16x+k)﹣2x (k∈R)是偶函数.
(1)求k;
(2)若不等式m﹣1≤f(x)≤2m+log217在x∈[﹣1, ]上恒成立,求实数m的取值范围.
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