Question

【题目】设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m，n，都有f（m）f（n）=f（m+n），且当x＜0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，f（x）＞1；③f（x）是R上的增函数；
（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x2﹣3ax+1）f（﹣3x+6a+1）≤1．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①在f（m）f（n）=f（m+n）中，令m=n=0，

得f（0）f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或1，

若f（0）=0，则当x＞0时，有f（x）f（0）=f（x）=0与题设矛盾，

∴f（0）=1；

②当x＞0时，﹣x＜0，由已知得0＜f（﹣x）＜1，

又f（0）=f[x+（﹣x）]=f（x）f（﹣x）=1，0＜f（﹣x）＜1，∴ ，

即x＞0时，f（x）＞1；

③任取x1＜x2，由①②及已知条件知x∈R时，f（x）＞0，

则 ，∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又因为f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴y=f（x）在定义域R上为增函数

（2）解：f（x2﹣3ax+1）f（﹣3x+6a+1）=f（x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1）=f[x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）]，

又f（0）=1，f（x）在R上单调递增，

∴原不等式等价于x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0，

不等式可化为（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，

∴当2＜3a+1，即 时，2≤x≤3a+1；

当2=3a+1，即 时，x=2；

当2＞3a+1，即 时，3a+1≤x≤2

【解析】（1）①利用赋值法，转化求解即可．②判断函数的范围，通过f（0）=f[x+（﹣x）]转化求解证明即可．③利用函数的单调性的定义证明即可．（2）利用已知条件化简表达式，利用函数的单调性，推出不等式，然后求解不等式的解集．