Question

【题目】某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
附：K2= ．
（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，

分数小于等于110分的学生中，

男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；

女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分）

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：

（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），

（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），

（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；

故所求的概率为P= = …

（2）解：由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）

据此可得2×2列联表如下：

	数学尖子生	非数学尖子生	合计
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合计	30	70	100

所以得K2= = ≈1.79；

因为1.79＜2.706，

所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”

【解析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．