Question

【题目】设函数f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1．
（1）求f（x）的最大值及此时的x值
（2）求f（x）的单调减区间
（3）若x∈[﹣ ， ]时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1=cos2x+ = ，

当2x+ ，即 时，f（x）max=2

（2）解：由 ，得 ，

∴f（x）的单调减区间为[ ]，k∈Z

（3）解： ，

由 ，得 ，

∴ ，

∴﹣1≤f（x）≤2．

则f（x）的值域为[﹣1，2]

【解析】f（x）=2cos2x+ sin2x﹣1=cos2x+ = （1）当2x+ ，即 时，f（x）取得最大值；（2）由 ，得 ，即可求出f（x）的单调减区间；（3）由 ，得 ，即可求出f（x）的值域．
【考点精析】本题主要考查了正弦函数的单调性和三角函数的最值的相关知识点，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．