【题目】我市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)分别求第3,4,5组的频率.
(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的条件下,我市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
【答案】(1) 第3组的频率为0.3,第4组的频率为0.2,第5组的频率为0.1;(2) 从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人;(3) 第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
【解析】试题分析:(1)由图可知,频率= 组距=5y,可求得各组频率。(2)由(1)可知第3,4,5组的频率分别为,0.3,0.2,0.1,所以各组人数为30,20,10,按分层抽样,3:2:1抽取,所以第3,4,5组分别抽3人,2人,1人。(3)由(2)知第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.所以采用列举法,可知总共方法为有9种,满足的方法有9种,根据古典概型可知
。
试题解析:(1)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,
第4组的频率为0.04×5=0.2,
第5组的频率为0.02×5=0.1.
(2)第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:
第3组: ×6=3;第4组:
×6=2;第5组:
×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.
(3)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),
(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种.
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
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【题目】如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB,PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)若∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果函数g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域D上,满足f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称g(x)为f1(x),f2(x)的“活动函数”.已知函数.
。若在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,求a的取值范围.
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【题目】设集合A={x|2﹣5≤2﹣x≤4},B={x|x2+2mx﹣3m2<0,m>0}.
(1)若m=2,求A∩B;
(2)若BA,求实数m的取值范围.
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【题目】某学校高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按性别分为男、女两组,再将两组学生的分数分成5组:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
附:K2= .
(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰好为一男一女的概率;
(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,将其沿对角线BD折起,得到四面体A﹣BCD,如图所示,给出下列结论:
①四面体A﹣BCD体积的最大值为 ;
②四面体A﹣BCD外接球的表面积恒为定值;
③若E、F分别为棱AC、BD的中点,则恒有EF⊥AC且EF⊥BD;
④当二面角A﹣BD﹣C为直二面角时,直线AB、CD所成角的余弦值为 ;
⑤当二面角A﹣BD﹣C的大小为60°时,棱AC的长为 .
其中正确的结论有(请写出所有正确结论的序号).
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【题目】四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V=
,求二面角D﹣AE﹣C的大小.
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【题目】已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),x=﹣ 是y=f(x)的零点,直线x=
为y=f(x)图象的一条对称轴,且函数f(x)在区间(
,
)上单调,则ω的最大值是( )
A.9
B.7
C.5
D.3
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【题目】如图所示,在中,斜边
,将
沿直线
旋转得到
,设二面角
的大小为
.
(1)取的中点
,过点
的平面与
分别交于点
,当平面
平面
时,求
的长(2)当
时,求二面角
的余弦值.
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