Question

【题目】如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF

∴四边形AEFQ为平行四边形

∴EF∥AQ

又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内

∴EF∥面PAD

（2）解：证明∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A

PA在平面PAD内，AD在平面PAD内

∴CD⊥面PAD

又∵AQ在平面PAD同

∴CD⊥AQ

∵EF∥AQ

∴CD⊥EF

（3）解：解∵∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形

∴AQ⊥PD

∴∠QAD=45°

即AQ与平面ABCD所成角为45°

又∵AQ∥EF

∴EF与平面ABCD所成角45°．

【解析】（1）取PD中点Q，连AQ、QF，易证EF∥AQ，根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD；（2）欲证CD⊥EF，可先证直线与平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根据直线与平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，从而得到CD⊥EF；（3）先证∠QAD为AQ与平面ABCD所成角，在三角形QAD中求出此角，再根据AQ∥EF，得到EF与平面ABCD所成的角的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．