Question

【题目】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．

（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）

Answer 1

【答案】
（1）解：由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

（2）解：设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），

即h（t）=

当0≤t≤200时，配方整理得h（t）= ．

所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；

当200＜t≤300时，配方整理得h（t）= ，

所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5

综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，

即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

【解析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．