Question

【题目】经市场调查，某商品每吨的价格为x（2＜x＜14）元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax﹣16（a≥8）；月需求量为y2吨 ．当该商品的需求量不小于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量小于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额f（x）等于月销售量与价格的乘积．

（1）若a=32，问商品的价格为多少元时，该商品的月销售额f（x）最大？

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨10元，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2） .

【解析】试题分析：（1）求出函数的解析式，通过讨论x的范围以及函数的单调性求出函数的最大值即可；

（2）根据函数的单调性单调关于a的不等式组，解出即可．

试题解析：

（1）若a=32，由y2≥y1，得﹣x2﹣2x+224≥32x﹣16． 解得﹣40≤x≤6

因为2＜x＜14，所以2＜x≤6．设该商品的月销售额为f（x），

则

①当2＜x≤6时，f（x）=（32x﹣16）x，

所以f（x）max=f（6）=1056（元）．

②当6＜x＜14时，f（x）=（﹣x2﹣2x+224）x，

则f'（x）=﹣3x2﹣4x+224=﹣（x﹣8）（3x+28），

由f'（x）＞0，得x＜8，由f′（x）＜0，解得：x＞8，

所以f（x）在（6，8）上是增函数，在（8，14）上是减函数，

当x=8时，f（x）max=f（8）=1152（元）．　

因为1152＞1056，所以f（x）max=f（8）=1152元．

（2）设，

因为a≥8，所以g（x）在区间（2，14）上是增函数，

若该商品的均衡价格不低于10元，

即函数f（x）在区间[10，14）上有零点，

所以解得．

又因为a≥8，所以8≤a≤12．