Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）方程2tf（4t）﹣mf（2t）=0，当t∈[1，2]时，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则：

= ；

∵x1，x2＞0，且x1＜x2；

∴x1﹣x2＜0， ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数

（2）解：根据解析式f（x）=x﹣ ，原方程变成： ；

整理得，（22t）2﹣m22t+m﹣1=0；

∴（22t﹣1）[22t﹣（m﹣1）]=0 ①；

∵t∈[1，2]；

∴22t∈[4，16]；

∴22t﹣1＞0；

∴由方程①得，22t﹣（m﹣1）=0；

∴m﹣1=22t；

∴4≤m﹣1≤16；

∴5≤m≤17；

∴实数m的取值范围为[5，17]

【解析】（1）根据单调性的定义，设x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 然后通过作差证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）求出f（4t），f（2t），所以原方程可变成（22t）2﹣m2t+m﹣1=0，该方程又可变成（22t﹣1）[22t﹣（m﹣1）]=0，可以得到4≤22t≤16，m﹣1=22t ， 所以得到4≤m﹣1≤16，解不等式即得实数m的取值范围．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．