Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+2kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=m有解，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）是偶函数可知，f（﹣x）=f（x），

∴log4（4x+1）+2kx=log4（4﹣x+1）﹣2kx，即log4 =﹣4kx，

∴log44x=﹣4kx，∴x=﹣4kx，即（1+4k）x=0，对一切x∈R恒成立，

∴k=﹣

（2）解：由m=f（x）=log4（4x+1）﹣ x=log4 =log4（2x+ ），

∵2x＞0，∴2x+ ≥2，∴m≥log42= ．

故要使方程f（x）=m有解，

m的取值范围为[ ，+∞）

【解析】（1）利用函数是偶函数，利用定义推出方程求解即可．（2）通过方程有解，求出函数的最值，即可推出m的范围．