Question

【题目】从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．

（1）求轨迹E的方程；

（2）已知直线l：y=k（x-2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9

【解析】试题分析：（1）先设出垂线段的中点为M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；
（2）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出弦AB的长．

试题解析：

（1）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x．

（2）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=-2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵|AF|=2|BF|，∴x1+2=2（x2+2），∴x1=2x2+2∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=4，x2=1，

∴|AB|=x1+x2+p=9．