Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数g（x）=f（x）﹣2x的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：设二次函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c （a≠0），

由f（0）=1得c=1，

故f（x）=ax2+bx+1．

因为f（x+1）﹣f（x）=2x，

所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，

根据系数对应相等 ，

∴ ，

所以f（x）=x2﹣x+1

（2）解：当x∈[﹣1，1]时，函数g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣3x+1

=（x﹣ ）2﹣ ，

对称轴为x= ，区间[﹣1，1]在对称轴的左边，为减区间，

即有x=﹣1时取得最大值，且为5，x=1时取得最小值，且为﹣1．

故值域为[﹣1，5]

【解析】（1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；（2）求得二次函数g（x）的解析式，求得对称轴，可得[﹣1，]为减区间，即可得到最值，进而得到值域．
【考点精析】掌握函数的值域和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．