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一个空间几何体的三视图如图所  示,其中分别是五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影,且在主视图中,四边形为正方形且;在左视图中俯视图中

  

(Ⅰ)根据三视图作出空间几何体的直观图,并标明五点的位置;

   (Ⅱ)在空间几何体中,过点作平面的垂线,若垂足H在直线 上,求证:平面⊥平面

   (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求三棱锥的体积及其外接球的表面积.

平面⊥平面


解析:

(Ⅰ)空间几何体的直观图如图所示,

       且可得到平面⊥平面

       四边形为正方形且

  

(Ⅱ)证明:过点作平面的垂线,

       垂足H在直线上,

       平面

       平面

       又平面⊥平面

       又,故平面⊥平面

   (Ⅲ)由(Ⅱ)知,

          为等腰直角三角形,

       过点于点

      

       ∴

       取的中点,由于均为直角三角形,所以

      

       是四棱锥的外接球的球心,半径为

      

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