Question

A已知数列{a_n}是首项为，公比q=的等比数列，设，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．

（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
B已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设0＜a＜b（a，b为实常数），S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

A解：（1）由题意得：a_n=，
∵，，
∴==，
故数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．
（2）∵数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列，
∴，b_n=3n-2，
∴，
∴，
∴，
∴-，
∴．
（3）∵=9（1-n），
∴当n=1时，，
当n≥2时，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＜c₃＜c₄＜…＜c_n，
∴当n=1时，c_n取最大值是，
对一切正整数n恒成立，
∴，
即m²+4m-5≥0，得m≥1，或m≤-5．
B解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使{a_n}是等比数列，则有，
即（）²=，
等价于^2-4，
等价于9=0矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）解：因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n-1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）
=-（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-b_n．
当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴，（n∈N⁺）．
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列，
（Ⅲ）由（2）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-）^n-1，于是可得
S_n=-，
要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺），
得，
令，则当n为正奇数时，1＜f（n）；
当n为正偶数时，，
∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，
于是，由①式得，
∴-b-18＜λ＜-3a-18，
当a＜b≤3a时，由-b-18≥-3a-18，不存在实数满足要求；
当b＞3a存在λ，使得对任意正整数n，
都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）．
分析：A：（1）由题意得：a_n=，由，，知=3，由此能证明数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．
（2）由，b_n=3n-2，知，故，由错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
（3）由=9（1-n），知当n=1时，，当n≥2时，c_n+1＜c_n，由此能求出实数m的取值范围．
B：（Ⅰ）假设存在一个实数，使{a_n}是等比数列，则有，即（）²=，等价于9=0矛盾．所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n-1）+21]=-b_n，故当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，，（n∈N⁺）．故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列．
（Ⅲ）由λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求，知λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-）^n-1，于是S_n=-，要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺），由此能求出λ的取值范围．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．