Question

1．将四位同学等可能的分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是$\frac{65}{81}$，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则Eξ=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用相互对立事件的概率计算公式可得：四位学生中至少有一位选择甲班级的概率为1-$\frac{{2}^{4}}{{3}^{4}}$．
（2）随机变量ξ=0，1，2，3，4，则P（ξ=0）=$\frac{{2}^{4}}{{3}^{4}}$，P（ξ=1）=$\frac{4×{2}^{3}}{{3}^{4}}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}×{2}^{2}}{{3}^{4}}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}×2}{{3}^{4}}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{81}$，即可得出ξ的分布列及其数学期望．

解答 解：（1）由题意，四位学生中至少有一位选择甲班级的概率为1-$\frac{{2}^{4}}{{3}^{4}}$=$\frac{65}{81}$．
（2）随机变量ξ=0，1，2，3，4，则
P（ξ=0）=$\frac{{2}^{4}}{{3}^{4}}$=$\frac{16}{81}$，P（ξ=1）=$\frac{4×{2}^{3}}{{3}^{4}}$=$\frac{32}{81}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}×{2}^{2}}{{3}^{4}}$=$\frac{24}{81}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}×2}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{81}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{81}$，
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

Eξ=0+1×$\frac{32}{81}$+2×$\frac{24}{81}$+3×$\frac{8}{81}$+4×$\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{65}{81}$，$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、互为对立概率计算公式、随机变量的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．