Question

16．若不等式x²+2xy≤a（x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得a≥$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，由x²+y²=（1-m²）x²+m²x²+y²（m＞0），运用基本不等式，及解方程1-m²=m，可得m，进而得到a的最小值．

解答 解：由题意可得a≥$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，
由x²+y²=（1-m²）x²+m²x²+y²（m＞0）
≥（1-m²）x²+2mxy，（当且仅当mx=y取得等号），
则$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+2xy}{（1-{m}^{2}）{x}^{2}+2mxy}$，
当1-m²=m，即m=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，$\frac{{x}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值为$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
即有a≥$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意变形以及等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．