Question

7．已知f（x）=mx²+nx-2（n＞0，m＞0）的图象与x轴交与（2，0），则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为8．

Answer 1

分析 由题意可得正数m、n满足2m+n=1，代入可得$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵f（x）=mx²+nx-2的图象与x轴交与（2，0），
∴4m+2n-2=0，∴正数m、n满足2m+n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（2m+n）
=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即m=$\frac{1}{4}$且n=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属基础题．