Question

17．当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，4^x＜log_ax，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，不等式4^x＜log_ax恒成立，则在0＜x≤$\frac{1}{2}$时，y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．

解答 解：当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，函数y=4^x的图象如下图所示：
若不等式4^x＜log_ax恒成立，则y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方，
∵y=log_ax的图象与y=4^x的图象交于（$\frac{1}{2}$，2）点时，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故y=log_ax的图象对应的底数a应满足0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查指数不等式和对数不等式的解法，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象与性质是解答本题的关键，是中档题．