Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，求：
（1）求它的定义域；
（2）f（a）+f（$\frac{1}{a}$）的值．
（3）f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）由分母不为零求出函数的定义域；
（2）代入函数的解析式化简f（a）+f（$\frac{1}{a}$）即可；
（3）由奇偶函数的定义判断f（x）是偶函数，由（2）的结论求出f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）的值．

解答 解：（1）由1-x²≠0得，x≠±1，
所以函数的定义域是{x|x≠±1}；
（2）f（a）+f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1+{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1+\frac{1}{{a}^{2}}}{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$
=$\frac{1+{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$=0；
（3）由（1）可得函数的定义域关于原点对称，
因为f（-x）=$\frac{1+{（-x）}^{2}}{1-{（-x）}^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=f（x），
所以函数f（x）是偶函数，
则f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）
=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（2）+f（3）
=0．

点评 本题考查函数的定义域、奇偶性的应用，属于基础题．