Question

4．已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e是自然对数的底数，若f（1）=0，且函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由f（1）=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，分类讨论满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：由f（1）=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1，又f（0）=0
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，
则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间
因为f（x）=e^x-ax²-bx-1所以g（x）=f'（x）=e^x-2ax-b
又g'（x）=e^x-2a
因为x∈[0，1]，1≤e^x≤e所以：
①若$a≤\frac{1}{2}$，则2a≤1，g'（x）=e^x-2a≥0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单增，
②若$a≥\frac{e}{2}$，则2a≥e，g'（x）=e^x-2a≤0
所以函数g（x）在区间[0，1]上单减，
于是，当$a≤\frac{1}{2}$或$a≥\frac{e}{2}$时，函数g（x）即f'（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求． 
③若$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$，则1＜2a＜e，
于是当0＜x＜ln（2a）时g'（x）=e^x-2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时g'（x）=e^x-2a＞0，
∴函数g（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在区间（ln（2a），1）上递增，
当x=ln（2a）时，函数取最小值3a-2aln（2a）-e-1，
令h（x）=$\frac{3}{2}x$-xln（x）-e-1，（1＜x＜e），
则h′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
当x∈（1，$\sqrt{e}$）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
当x∈（$\sqrt{e}$，e）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
故当x=$\sqrt{e}$时，h（x）取最大值$\sqrt{e}$-e-1＜0，
即函数g（x）_min＜0恒成立，
于是函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
$\left\{\begin{array}{l}g（0）=2-e+a＞0\\ g（1）=-a+1＞0\end{array}\right.$，
解得：e-2＜a＜1，
又∵$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$，
∴e-2＜a＜1，
综上所述，a的取值范围为（e-2，1）

点评 本题考查的知识点是函数零点与方程的根，转化思想，分类说讨论思想，综合性强，转化困难，属于难题．