Question

13．已知函数y=f（x），对于任意的x$∈[0，\frac{π}{2}）$满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有②③④．
①$\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$＜f（$\frac{π}{4}$） ②$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$） ③f（0）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$） ④f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，x$∈[0，\frac{π}{2}）$，可得函数F（x）在x$∈[0，\frac{π}{2}）$上单调递增，逐个选项验证可得．

解答 解：构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，x$∈[0，\frac{π}{2}）$，
则F′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
∴函数F（x）在x$∈[0，\frac{π}{2}）$上单调递增，
∴F（$\frac{π}{3}$）＞F（$\frac{π}{4}$），即2f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），可得$\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$＞f（$\frac{π}{4}$），①错误；
同理可得F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{4}$），即$\frac{2}{\sqrt{3}}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），可得$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$），②正确；
同理F（0）＜F（$\frac{π}{4}$），即f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），③正确；
同理F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{3}$），即$\frac{2}{\sqrt{3}}$f（$\frac{π}{6}$）＜2f（$\frac{π}{3}$），可得f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$），④正确．
故答案为：②③④

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，利用单调性比较大小，熟记商的导数公式，以之构造出相应函数是解答的关键，属中档题．