Question

2．设a，b∈R，已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，0≤x＜2}\\{lo{g}_{16}x，x≥2}\end{array}\right.$，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有且只有7个不同实数根，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 确定函数f（x）的性质，可得关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t²+at+b=0必有两个根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（$\frac{1}{4}$，1），根据根与系数之间的关系，即可得出结论．

解答 解：由题意，f（x）在（-∞，-2]和[0，2]上是减函数，在[-2，0]和[2，+∞）上是增函数，
∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值$\frac{1}{4}$，
|x|≥16时，f（x）≥1，
∴关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，
设t=f（x），
则方程t²+at+b=0必有两个根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（$\frac{1}{4}$，1），
t₁+t₂=-a∈（$\frac{5}{4}$，2），
则-2＜a＜-$\frac{5}{4}$，∴-$\frac{4}{5}$＜$\frac{1}{a}$＜-$\frac{1}{2}$
∵b=-a-1，
∴$\frac{3}{4}$＜b＜1，
∴$\frac{b}{a}$∈（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$），
故答案为：（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确理解函数的性质是关键．